Implicação e implicação formal

Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, Chapter III §38

At this point, it is necessary to consider a very difficult logical problem, namely, the distinction between a proposition actually asserted, and a proposition considered merely as a complex concept. One of our indemonstrable principles was, it will be remembered, that if the hypothesis of an implication is true, it may be dropped, and the consequent asserted. This principle, it was observed, eludes formal statement, and points to a certain failure of formalism in general. The principle is employed whenever a proposition is said to be proved; for what happens is, in all such cases, that the proposition is shown to be implied by some true proposition. Another form in which the principle is constantly employed is the substitution of a constant, satisfying the hypothesis, in the consequent of a formal implication. If ϕx implies ψx for all values of x, and if a is a constant satisfying ϕx, we can assert ψa, dropping the true hypothesis ϕa. This occurs, for example, whenever any of those rules of inference which employ the hypothesis that the variables involved are propositions, are applied to particular propositions.

The independence of this principle is brought out by a consideration of Lewis Carroll’s puzzle, What the Tortoise said to Achilles. The principles of inference which we accepted lead to the proposition that, if p and q be propositions, then p together with p implies q implies q. At first sight, it might be thought that this would enable us to assert q provided p is true and implies q. But the puzzle in question shows that this is not the case, and that, until we have some new principle, we shall only be led into an endless regress of more and more complicated implications, without ever arriving at the assertion of q. We need, in fact, the notion of therefore, which is quite different from the notion of implies, and holds between different entities. In grammar, the distinction is that between a verb and a verbal noun, between, say, A is greater than B and A‘s being greater than B. In the first of these, a proposition is actually asserted, whereas in the second it is merely considered. But these are psychological terms, whereas the difference which I desire to express is genuinely logical. It is plain that, if I may be allowed to use the word assertion in a non-psychological sense, the proposition p implies q asserts an implication, though it does not assert p or q. The p and the q which enter into this proposition are not strictly the same as the p or the q which are separate propositions, at least, if they are true. The question is: How does a proposition differ by being actually true from what it would be as an entity if it were not true? It is plain that true and false propositions alike are entities of a kind, but that true propositions have a quality not belonging to false ones, a quality which, in a non-psychological sense, may be called being asserted. Yet there are grave difficulties in forming a consistent theory on this point, for if assertion in any way changed a proposition, no proposition which can possibly in any context be unasserted could be true, since when asserted it would become a different proposition. But this is plainly false; for in p implies q, p and q are not asserted, and yet they may be true. Leaving this puzzle to logic, however, we must insist that there is a difference of some kind between an asserted and an unasserted proposition. When we say therefore, we state a relation which can only hold between asserted propositions, and which thus differs from implication. Wherever therefore occurs, the hypothesis may be dropped, and the conclusion asserted by itself. This seems to be the first step in answering Lewis Carroll’s puzzle.

Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, Capítulo III §38

Neste ponto, é necessário considerar um problema lógico muito difícil, a saber, a distinção entre uma proposição realmente afirmada e uma proposição considerada meramente como um conceito complexo. Um de nossos princípios indemonstráveis ​​foi, como será lembrado, que se a hipótese de uma implicação for verdadeira, ela pode ser descartada e o consequente afirmado. Este princípio, observou-se, escapa à afirmação formal e aponta para uma certa falha do formalismo em geral. O princípio é empregado sempre que se diz que uma proposição está provada; pois o que acontece é, em todos esses casos, que a proposição é mostrada como implicada por alguma proposição verdadeira. Outra forma em que o princípio é constantemente empregado é a substituição de uma constante, satisfazendo a hipótese, no consequente de uma implicação formal. Se ϕx implica ψx para todos os valores de x, e se a é uma constante que satisfaz ϕx, podemos afirmar ψa, descartando a hipótese verdadeira ϕa. Isso ocorre, por exemplo, sempre que alguma dessas regras de inferência que empregam a hipótese a qual as variáveis ​​envolvidas são proposições, são aplicadas a proposições particulares.

A independência deste princípio é evidenciada por uma consideração do puzzle de Lewis Carroll, O que a tartaruga disse a Aquiles. Os princípios de inferência que aceitamos levam à proposição de que, se p e q são proposições, então p junto com p implica q implica q. À primeira vista, pode-se pensar que isso nos permitiria afirmar q desde que p seja verdadeiro e implique q. Mas o puzzle em questão mostra que este não é o caso, e que, até que tenhamos algum novo princípio, seremos apenas levados a uma regressão sem fim de implicações cada vez mais complicadas, sem nunca chegar à afirmação de q. Precisamos, de fato, da noção de portanto [inferência lógica – “acarretamento”], que é bem diferente da noção de implica [implicação material], e vale entre diferentes entidades. Na gramática, a distinção é aquela entre um verbo e um substantivo verbal, entre, digamos, A é maior que B e A‘s sendo maior que B. No primeiro deles, uma proposição é realmente afirmada, enquanto no segundo é meramente considerado. Mas estes são termos psicológicos, enquanto a diferença que desejo expressar é genuinamente lógica. É claro que, se me for permitido usar a palavra asserção em um sentido não psicológico, a proposição p implica q afirma uma implicação, embora não afirme p ou q. O p e o q que entram nesta proposição não são estritamente o mesmo que o p ou o q que são proposições separadas, pelo menos se forem verdadeiras. A questão é: como uma proposição é diferente ao ser realmente verdadeira, do que seria como uma entidade que não fosse verdadeira? É claro que proposições verdadeiras e falsas são entidades de um tipo, mas que as proposições verdadeiras têm uma qualidade que não pertence às falsas, uma qualidade que, em um sentido não psicológico, pode ser chamada de afirmação. No entanto, há sérias dificuldades em formar uma teoria consistente sobre este ponto, pois se a afirmação de alguma forma mudasse uma proposição, nenhuma proposição que pudesse em qualquer contexto não ser afirmada poderia ser verdadeira, uma vez que, quando afirmada, se tornaria uma proposição diferente. Mas isso é claramente falso; pois em p implica q, p e q não são afirmados, e ainda assim podem ser verdadeiros. Deixando esse puzzle para a lógica, no entanto, devemos insistir que há uma diferença de algum tipo entre uma proposição afirmada e uma não afirmada. Quando dizemos portanto, afirmamos uma relação que só pode valer entre proposições afirmadas e que, portanto, difere da implicação. Onde quer que portanto ocorra, a hipótese pode ser descartada e a conclusão afirmada por si mesma. Este parece ser o primeiro passo para responder ao puzzle de Lewis Carroll.

Leave a comment

Your email address will not be published.